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Gilles Marck
Docteur en Energétique

Méthodes d'optimisation
de forme en conduction

Afin de comparer les différentes méthodologies mises en œuvre pour optimiser les échanges de chaleur par conduction au sein de structures solides, un même cas académique est retenu [1]. Celui-ci concerne le refroidissement optimal d'un volume générant de la chaleur, à l'aide d'une quantité finie de matériau hautement conducteur. Ce problème appartient à la classe générique des problématiques dites «Volume-to-Point» (VP) qui sont caractérisées par la recherche d'une topologie optimale entre deux sous-domaines de conductivité différente. Le problème d'optimisation associé au problème physique est de dimension infinie et est particulièrement délicat à résoudre : il constitue donc un cas d'étude intéressant pour tester différents algorithmes de résolution.

Le schéma ci-dessous illustre une formulation possible du problème VP dans le cadre de l'équation de la chaleur en régime stationnaire. Le domaine Ω0 (en blanc) est caractérisé par un taux de production de chaleur surfacique q0 et une conductivité thermique k0. Le domaine Ωp possède une conductivité thermique kp très largement supérieure à k0. Les conditions limites sont entièrement adiabatiques, à l'exception d'un petit puits de chaleur situé au milieu d'une des extrémités qui est à température constante Ts. Le problème est le suivant : quelle est la configuration optimale du domaine Ωp, en termes de forme et de connexité, pour minimiser un ou plusieurs objectifs d'ordre thermique ? Ces objectifs peuvent prendre des formes différentes : ils peuvent viser par exemple à minimiser la température en un point spécifique, la moyenne ou la variance de température du domaine complet Ω0 ∪ Ωp, …

Problème Volume-to-Point en conduction
Problème «Volume-to-Point» en conduction : comment refroidir efficacement le domaine produisant de la chaleur (en blanc) à l'aide du matériau hautement conducteur (en noir) ?

Théorie constructale

La théorie constructale est une philosophie de conception formulée par A. Bejan en 1996 [1] et qui s'énonce ainsi : pour qu'un système fini puisse persister dans le temps, il doit évoluer de manière à offrir un accès facilité aux flux qui le traversent. Une autre façon de la définir est possible en l'opposant à la théorie fractale : cette dernière décrit les systèmes multi-échelles, tandis que l'approche constructale explique leur formation et met en exergue les lois entre les différentes échelles. Plus particulièrement, la philosophie constructale s'appuie sur un volume élémentaire indivisible, pour des raisons physiques ou industrielles, qui est ensuite assemblé au fil des différentes échelles, c'est-à-dire en allant des plus petites échelles vers les plus grandes. La vidéo ci-dessous illustre la conception du réseau hautement conducteur kp formée par l'assemblage consécutif de 6 échelles obéissant à des lois établies à partir de la théorie constructale. Elle a pour point de départ le niveau 1 qui est caractérisé par la répartition de plusieurs volumes élémentaires autour d'un axe hautement conducteur.

Application de l'approche constructale à la construction d'un réseau de matière hautement conductrice composée de 6 échelles. Remarque : l'aire et la forme du domaine Ω0 ne sont pas fixées et évoluent au fil de l'établissement des niveaux.

Avec l’aide de J.-L. Harion, M. Nemer, S. Russeil et D. Bougeard et en nous appuyant sur les travaux initiaux de A. Bejan, L. Kuddusi, N. Egrican et J. Denton [1-3], nous avons mis en exergue trois points particuliers concernant l’application de l’approche constructale aux problèmes VP [4-6] :

  1. Nous avons développé une résolution analytique à partir de l'hypothèse de minceur introduite par A. Bejan et sur la base des mêmes hypothèses physiques utilisées L. Kuddusi et J. Denton. Nous avons ainsi participé à l'unification de deux approches présentées comme opposées dans la littérature scientifique.
  2. Nous avons proposé une formulation analytique de l'erreur engendrée lors de l'évaluation de l'aire du domaine Ωp : cette donnée est un paramètre d'optimisation central du processus constructal.
  3. Enfin, nous avons examiné l’influence de la complexité des réseaux constructaux sur les performances thermiques des systèmes. Pour comparer des géométries qui sont structurellement de tailles différentes en fonction de leur complexité, nous avons proposé un algorithme permettant d’inverser le processus constructal et de contraindre ces structures multi-échelles au sein d’un volume fini dont les dimensions sont fixées a priori.

Ces points nous ont permis d'identifier les limitations de l'application de la théorie constructale aux problèmes VP lorsque celle-ci est réalisée sur les bases de la formulation décrite dans la littérature. De plus, notre étude souligne également qu’une approche purement analytique sur ce type de problématique manque de souplesse, notamment vis-à-vis du paramétrage de la structure, et nous a engagés à nous orienter vers d'autres méthodologies.

Les automates cellulaires

Afin d'accroître le nombre de degrés de liberté dans le paramétrage du domaine hautement conducteur, nous nous sommes intéressés aux algortithmes basés sur les automates cellulaires développés par R. Boichot et al [7]. L’idée poursuivie par la méthode est de fractionner le domaine de calcul en un nombre fini d’éléments appelés automates cellulaires qui, à l’instar des cellules biologiques, sont caractérisés par un comportement propre. Ainsi, chaque automate a la capacité d’intervertir sa conductivité thermique d’un domaine à l’autre : cette permutation s’effectue itérativement sur la base de leur sollicitation thermique individuelle, identifiée par la norme du flux de chaleur qui les traverse. Au fil du processus, le nombre d'automates cellulaires concernés par cette permutation diminue, figeant peu à peu la structure vers sa forme finale. La vidéo ci-dessous illustre cette convergence à partir d'un champ kp initialisé aléatoirement.

Processus de convergence des automates cellulaires à partir d'une structure initialisée aléatoirement. Le critère de permutation des automates est local puisqu'il s'agit de la norme du flux de chaleur convoyé par chaque cellule qui permet d'identifier les éléments qui sont sur- ou sous-sollicités.

L'algorithme initial proposé par R. Boichot et al. [7] était propice à la création de «checkerboards» structurels en raison de différents choix numériques : ceux-ci se traduisent par des solutions non-réalistes alternant des éléments de conductivité thermique k0 et kp comme un damier. Ce constat nous a conduits à proposer une modification de la méthode, en dissociant les automates cellulaires des volumes de contrôle utilisés pour la discrétisation de l'équation de la chaleur, solutionnant ce problème. Cependant, bien que l’émergence de structures globales sur la base d’un critère local soit remarquable, la méthode en elle-même ne permet pas de faire évoluer les structures en fonction d’un objectif à satisfaire. Nous ne pouvons qu’observer l’évolution des paramètres physiques au fil du processus itératif, sans que l’algorithme soit en mesure de privilégier une configuration par rapport à une autre pour optimiser une grandeur physique en particulier.

Evolutionary Structural Optimization (ESO)

En conservant le même paramétrage que celui utilisé par les automates cellulaires, nous avons imaginé une nouvelle stratégie basée sur les travaux de Q. Li et al. intitulés «Evolutionary Structural Optimization» (ESO) [8,9]. Nous avons proposé d’en inverser la philosophie afin de simuler la croissance du matériau hautement conducteur à l’intérieur du domaine produisant de la chaleur [10]. Cette croissance est guidée par une fonction objectif à minimiser ou à maximiser, dite également fonction de coût. Celle-ci permet de déterminer au fil d’un processus itératif la meilleure implantation du matériau conducteur la satisfaisant, palliant les limitations des automates cellulaires soulignées au paragraphe précédent. Ce processus est assimilable à une méthode de descente guidée par un gradient topologique à chacune de ses itérations : sa difficulté réside essentiellement dans l’étape relative à l’analyse de sensibilité permettant l’évaluation de ce gradient.

Croissance du domaine hautement conducteur Ωp au sein du domaine Ω0 guidée par l'algorithme ESO s'appuyant explicitement sur une fonction objectif. Remarque : le calcul tire parti de la symétrie du domaine et n'est conduit que sur sa partie supérieure, la solution étant ensuite symétriser sur la partie inférieure.

L’inclusion d’une fonction objectif guidant le processus de construction permet l’obtention de structures différentes, servant des objectifs différents. En d’autres termes, a contrario des deux méthodes précédentes, celle-ci permet d’avoir un contrôle sur la topologie optimale du domaine hautement conducteur. Cependant, la méthode proposée ici pré-suppose la connexité de la structure solution et n’a pas la capacité de modifier sa configuration autrement que par addition de matière, du fait de l’hypothèse de croissance. De plus, l’idée de faire croître la solution semble particulièrement inadaptée dans des configurations autres que celles relatives aux problèmes VP. Ces constats nous ont orientés vers des méthodes ne possédant pas les restrictions relatives à la connexité mentionnées ci-dessus, mais s’appuyant sur la minimisation ou la maximisation explicite d’une fonction objectif.

Solid Isotropic Material with Penalization (SIMP)

La dernière méthode que nous avons étudiée s’appuie sur les travaux de A. Gersborg-Hansen et al. [11] et s’inspire d’une approche par pénalisation développée initialement pour l’optimisation de structures en mécanique du solide [12]. L’originalité de cette méthodologie repose sur la transformation du problème discret initial en un problème continu : la conductivité thermique locale, qui avait précédemment pour valeur k0 ou kp , peut désormais varier de façon continue entre ces deux bornes. Le principal avantage de ce type de paramétrage est de permettre aisément l’évaluation de la sensibilité de la fonction objectif par rapport à chaque variable de contrôle, puisque celles-ci sont désormais continues. Cette évaluation est effectuée au moyen d’un solveur adjoint discret dont le coût est du même ordre de grandeur que celui du problème direct. Les valeurs de la fonction objectif et de la sensibilité sont ensuite utilisées dans une méthode d’optimisation à gradient, en l’occurrence la méthode des asymptotes mobiles, pour construire un sous-problème convexe au voisinage du point considéré, résolu par la suite avec la méthode dite du point intérieur [13]. En pénalisant graduellement le problème au fil des itérations, une structure optimale distinguant clairement les domaines de haute et basse conductivités apparaît, formant une solution discrète à deux valeurs émergeant d’un champ de conductivité initialement homogène.

Les deux vidéos suivantes illustrent le processus de convergence de la méthode SIMP, dans le cadre de la minimisation de deux fonctions objectif différentes : la moyenne et la variance de température du domaine Ω0 ∪ Ωp. Il est intéressant de noter que des objectifs de natures différentes conduisent à des solutions différentes qui sont topologiquement non-triviales. Cependant, toutes les fonctions objectif ne sont pas abordables dans l'implémentation actuelle de l'algorithme, il faut que celle-ci soit au minimum C1 : cette particularité exclut pour l'instant les problèmes de type min max.

Minimisation de la moyenne de température du domaine Ω0 ∪ Ωp. Au fil de la convergence, et donc de la pénalisation, les conductivités thermiques locales tendent progressivement vers les extrema de leur intervalle de variation, c'est-à-dire k0 ou kp.
Minimisation de la variance de température du domaine Ω0 ∪ Ωp. La solution obtenue souligne l'un des avantages majeurs de la méthode qui est capable de générer des structures non-connexes, c'est-à-dire qu'elle est littéralement en mesure de créer des trous grâce à la souplesse du paramétrage structurel.

En complément de la méthode SIMP, nous avons développé une approche multi-objectif permettant de lier des problèmes d’optimisation impliquant des critères différents [14]. Celle-ci est basée sur l’agrégation des fonctions objectif par le biais d’une combinaison linéaire, sous réserve que ces dernières soient préalablement mises à l’échelle afin qu’elles aient le même ordre de grandeur. Dans ce contexte, nous avons établi que des structures minimisant à la fois la moyenne et la variance de température présentent des compromis intéressants, comme celle présentées sur les figures ci-dessous. De plus, les résultats obtenus montrent l’existence d’un glissement des solutions Pareto-optimales en fonction de la quantité de matériau kp, indiquant qu’il existe une quantité de matériau minimale associée à une structure optimale pour la minimisation d'un couple moyenne/variance donné.

Minimisation de la variance de température Minimisation multi-objectif Minimisation de la moyenne de température
A gauche : minimisation de la variance de température ; à droite : minimisation de la moyenne de température ; au milieu : minimisation bi-objectif de la moyenne et de la variance de température. Remarque : la solution centrale est un compromis structurel entre les deux structures extrêmes, tant sur le plan de la connexité que de l'épaisseur de matériau kp allouée à chaque échelle.

Comparaison des méthodes

Les performances des quatre méthodes d'optimisation présentées ci-dessus peuvent être comparées à condition que les paramètres d'entrées et les fonctions objectifs soient identiques. En effet, il faut noter que les structures issues de la théorie constructale et des automates cellulaires sont établies implicitement par rapport à leur critère d'optimisation respectif, tandis que les méthodes ESO et SIMP utilisent explicitement une fonction objectif dans leur processus d'optimisation. Dès lors, l'ascendance d'une méthode sur les autres est délicate à d'établir puisque les objectifs qu'elles poursuivent ne sont pas nécessairement similaires.

Comparaison théorie constructale Comparaison automates cellulaires
Théorie constructale
R = 30,1 × 10 -3
A = 17,3 × 10 -3
Automates cellulaires
R = 44,5 × 10 -3
A = 20,6 × 10 -3
Comparaison <em>ESO</em> Comparaison <em>SIMP</em>
ESO
R = 22,9 × 10 -3
A = 15,9 × 10 -3
SIMP
R = 21,3 × 10 -3
A = 9,63 × 10 -3
Réseaux conducteurs obtenus à partir des différentes méthodes d'optimisation et sur la base des mêmes paramètres physiques : dimensions, conductivités thermiques k0 et kp, quantités de matière, etc. Les comparaisons sont effectuées à partir de deux critères adimensionnalisés : la résistance thermique du sytème qui est proportionnelle à la différence de température entre le point le plus chaud et le plus froid, notée R, et la moyenne de température, notée A.

La comparaison des performances des solutions, quantifiées par leur résistance thermique et leur moyenne de température, indique que la méthode SIMP devance les trois autres approches pour ces deux critères. Bien que cette méthode soit plus délicate à mettre en oeuvre numériquement, elle présente toutefois l'intérêt d'aborder explicitement les problèmes multi-objectifs dans des configurations aussi diverses que variées. Pour être complète, la comparaison présentée ici devrait également inclure une approche dite level set, telle que présentée dans [15] et qui est actuellement à l'étude.

En comparant quantitativement et qualitativement les résultats, puis en comparant la capacité des approches à s'adapter à des problématiques d'optimisation différentes et leur complexité algorithmique, il apparaît que la méthode SIMP présente un certain nombre d'avantages. Celle-ci permet d'aborder une grande variété de configurations géométriques ainsi que de résoudre un ou des problèmes d'optimisation si ceux-ci ont préalablement été énoncés en termes mathématiques. Dès lors, mes recherches m'ont conduit à considérer cette approche spécifique pour d'autres problématiques d'optimisation de formes, mais toujours dans le contexte des transferts de chaleur.

Références

[1] A. Bejan. Constructal-theory network of conducting paths for cooling a heat generating volume. International Journal of Heat and Mass Transfer, 40(4):799–811, 1997.
[2] L. Ghodoossi et N. Egrican. Exact solution for cooling of electronics using constructal theory. Journal of Applied Physics, 93(8):4922–4929, 2003.
[3] L. Kuddusi et J. Denton. Analytical solution for heat conduction problem in composite slab and its implementation in constructal solution for cooling of electronics. Energy Conversion and Management, 48(4):1089–1105, 2007.
[4] G. Marck, M. Nemer, J.-L. Harion, S. Russeil, et D. Bougeard. A new perspective of constructal networks cooling a finite-size volume generating heat. Energy Conversion and Management, 52(2):1033–1046, 2011.
[5] G. Marck, M. Nemer, J.-L. Harion, S. Russeil, et D. Bougeard. Refroidissement d’un volume fini générant de la chaleur : analyse du processus constructal. Acte de congrès de la Société Française de Thermique, No. 154, Le Touquet (France), 2010.
[6] G. Marck, M. Nemer, J.-L. Harion, S. Russeil, et D. Bougeard. Refroidissement d’un volume fini générant de la chaleur : limites de l’approche constructale. Acte de congrès de la Société Française de Thermique, No. 155, Le Touquet (France), 2010.
[7] R. Boichot, L. Luo, et Y. Fan. Tree-network structure generation for heat conduction by cellular automaton. Energy Conversion and Management, 50(2):376–386, 2009.
[8] Q. Li, G. Steven, Y. Xie, et O. Querin. Evolutionary topology optimization for temperature reduction of heat conducting fields. International Journal of Heat and Mass Transfer, 47(23):5071–5083, 2004.
[9] Q. Li, G. Steven, O. Querin, et Y. Xie. Shape and topology design for heat conduction by Evolutionary Structural Optimization. International Journal of Heat and Mass Transfer, 42(17):3361–3371, 1999.
[10] G. Marck, M. Nemer, J.-L. Harion, S. Russeil, et D. Bougeard. Evolutionary structural optimization by extension to cool a finite-size volume generating heat. 7th International Conference on Computational Heat and Mass Transfer, No. 152, Istanbul (Turkey), 2011.
[11] A. Gersborg-Hansen, M. Bendsoe, et O. Sigmund. Topology optimization of heat conduction problems using the finite volume method. Structural and multidisciplinary optimization, 31(4):251–259, 2006.
[12] M. Bendsoe et O. Sigmund. Topology Optimization: Theory, Methods and Applications. Springer, 2nd edition, 2003.
[13] K. Svanberg. The Method of Moving Asymptotes – A new method for structural optimization. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 24:359–373, 1987.
[14] G. Marck, M. Nemer, J.-L. Harion, S. Russeil, et D. Bougeard. Topology optimization using the SIMP method for multiobjective conductive problems. Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals, 61(6):439–470, 2012.
[15] C. Zhuang, Z. Xiong, et H. Ding. Topology optimization of multi-material for the heat conduction problem based on the level set method. Engineering Optimization, 42(9):811–831, 2010.